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算法复杂度分析(上)

刷题的时候经常都会看到 O(n2) 之类的公式用来表示某个算法的复杂度,我也只能大概的判断大小。最近正在系统的学习数据结构,这里也记录以下自己的思路,同时能帮助到其他朋友理解到,就更好了。

为什么需要复杂度分析

在写代码的时候,我总是会有意识的想要提升运行效率,但是我在写完了一段代码后我也不知道它的速度是快还是慢。我甚至会在满足一些自己所谓的高效率,而花费太多不必要的时间。

通过对空间、时间复杂度的分析,可以让我写代码时更佳自信。

大 O 复杂度表示法

先上代码

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public static int cal(int n) {
int sum = 0;
int i = 1;
for (; i <= n; ++i) {
sum = sum + i;
}
return sum;
}

一个简单的 计算数列和 的代码,也就是 1, 2, 3, ... , n-1, n 所有数字的和。

虽然计算机运行代码的时间,会比想象中的难以计算。因为每一行代码都是不同的,还会有很多不确定的情况。但是在计算复杂度时,都会大致将其看作一行代码,花了一个单位时间。

所以在这段代码中,L2-3 分别运行了一次,L4-5 分别运行了 n 次。那么我将这个代码的运行时间大概估计为 2n+22n+2 次,同时得出了一个结论,所有代码的执行时间 T(n) 与每行代码的执行次数成正比。

再看一段代码

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public static int cal(int n) {
int sum = 0;
int i = 1;
int j = 1;
for (; i <= n; ++i) {
j = 1;
for (; j <= n; ++j) {
sum = sum + i * j;
}
}
return sum;
}

在这一段代码中,L2-4 一共运行了 3 次(L1 初始化就不计了),L5 和 L6 都运行了 n 次,那么一共需要 2n2n 次。L7 和 L8 都运行了 n2n^2 次,那么一共运行了 2n22n^2 次。如果把运行一次的时间设为 RunTime ,这段代码一共运行的时间 T(n) 为。

T(n)=(2n2+2n+3)RunTimeT(n)=(2n^2+2n+3)*RunTime

通过对这两段代码的分析,我们可以得到一个非常重要的规律,即,所有代码的执行时间 T(n) 与每行代码的执行次数 n 成正比

我们可以把这个规律总结成一个规律,也就是

T(n)=O(f(n))T(n)=O(f(n))

符号 含义
T(n) 代码执行的时间
n 数据的规模大小
f(n) 每行代码执行的次数总和
O 代码的执行时间 T(n) 与 f(n) 表达式成正比

第一段代码的 T(n)=O(2n+2)T(n)=O(2n+2) 和 第二段代码的 T(n)=O(2n2+2n+3)T(n)=O(2n^2+2n+3) 也就是大 O 时间复杂度表示法

大 O 时间复杂度实际上并不具体表示代码真正的执行时间,而是表示代码执行时间随数据规模增长的变化趋势,所以,也叫作渐进时间复杂度(asymptotic time complexity),简称时间复杂度

当 n 很大时,你可以把它想象成 10000、100000。而公式中的低阶、常量、系数三部分并不左右增长趋势,所以都可以忽略。我们只需要记录一个最大量级就可以了,如果用大 O 表示法表示刚讲的那两段代码的时间复杂度,就可以记为

T(n)=O(n)T(n) = O(n)

T(n)=O(n2)T(n) = O(n^2)

时间复杂度分析

在进行时间复杂度分析时,可以使用这三个比较使用的方法。

只关注循环执行次数最多的一段代码

我们在分析一个算法、一段代码的时间复杂度的时候,也只关注循环执行次数最多的那一段代码就可以了。

还是第一段代码为例

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public static int cal(int n) {
int sum = 0;
int i = 1;
for (; i <= n; ++i) {
sum = sum + i;
}
return sum;
}

因为在这段代码中,L2-3 都是常量级的执行时间,与 n 的数据大小无关,所以在我们进行时间复杂度分析时可忽略不计。而循环次数最多的 L4-5 才是我们需要关系的。在前面分析的时候也说了,它被执行了 n 次,所以时间复杂程度也就是 O(n)O(n)

加法法则:总复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度

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public static int cal(int n) {
int sum_1 = 0;
int p = 1;
for (; p < 100; ++p) {
sum_1 = sum_1 + p;
}

int sum_2 = 0;
int q = 1;
for (; q < n; ++q) {
sum_2 = sum_2 + q;
}

int sum_3 = 0;
int i = 1;
int j = 1;
for (; i <= n; ++i) {
j = 1;
for (; j <= n; ++j) {
sum_3 = sum_3 + i * j;
}
}

return sum_1 + sum_2 + sum_3;
}

不难看出来第一段循环它的运行次数是固定的 100 次,所以是一个常量的执行时间,这是与 n 无关的。

第二段代码的循环次数是根据输入的 n 来决定的,所以它的时间复杂度为 O(n)O(n)

第三段代码也就是在第二段的基础上,又加了一次,也就是 O(n2)O(n^2)

我们在计算的时候,只选取其中时间复杂度最大的一个。所以这段代码的时间复杂度为 O(n2)O(n^2)

也就是说:总的时间复杂度就等于量级最大的那段代码的时间复杂度

乘法法则:嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积

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public static int cal(int n) {
int ret = 0;
int i = 1;
for (; i < n; ++i) {
ret = ret + f(i);
}
}

int f(int n) {
int sum = 0;
int i = 1;
for (; i < n; ++i) {
sum = sum + i;
}
return sum;
}

我们单独看 cal() 函数。假设 f() 只是一个普通的操作,那第 4~6 行的时间复杂度就是,T1(n)=O(n)T1(n) = O(n)。但 f() 函数本身不是一个简单的操作,它的时间复杂度是 T2(n)=O(n)T2(n) = O(n),所以,整个 cal() 函数的时间复杂度就是,T(n)=T1(n)T2(n)=O(nn)=O(n2)T(n) = T1(n) * T2(n) = O(n*n) = O(n^2)

几种常见时间复杂度实例分析

虽然代码千差万别,但是常见的复杂度量级也就只有几个。大致可以分为两类。

多项式量级:

  • 常量阶 O(1)O(1)
  • 对数阶 O(logn)O(logn)
  • 线性阶 O(n)O(n)
  • 线性对数阶 O(nlogn)O(nlogn)
  • 平方阶 O(n2)O(n^2)、立方阶 O(n3)O(n^3) … K次方阶 O(nk)O(n^k)

非多项式量级:

  • 指数阶 O(2n)O(2^n)
  • 阶乘阶 O(n!)O(n!)

我们把时间复杂度为非多项式量级的算法问题叫作 NP(Non-Deterministic Polynomial,非确定多项式)问题。

当数据规模 n 越来越大时,非多项式量级算法的执行时间会急剧增加,求解问题的执行时间会无限增长。所以,非多项式时间复杂度的算法其实是非常低效的算法。因此,关于 NP 时间复杂度我就不展开讲了。我们主要来看几种常见的多项式时间复杂度

O(1)

需要注意的是,O(1)O(1) 只是常量级时间复杂度的一种表示方法,并不是指只执行了一行代码。比如这段代码,即使有 3 行,它的时间复杂度也是 O(1)O(1),而不是 O(3)O(3)

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int i = 8;
int j = 6;
int sum = i + j;

可以说,只要代码的执行时间不随 n 的增大而增长,这样代码的时间复杂度我们都记作O(1)O(1)。或者说,一般情况下,只要算法中不存在循环语句、递归语句,即使有成千上万行的代码,其时间复杂度也是 O(1)O(1)

O(logn)、O(nlogn)

对数阶时间复杂度非常常见,同时也是最难分析的一种时间复杂度。看代码。

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i=1;
while (i <= n) {
i = i * 2;
}

根据我们前面讲的复杂度分析方法,第三行代码是循环执行次数最多的。所以,我们只要能计算出这行代码被执行了多少次,就能知道整段代码的时间复杂度。

从代码中可以看出,变量 i 的值从 1 开始取,每循环一次就乘以 2。当大于 n 时,循环结束。还记得我们高中学过的等比数列吗?实际上,变量 i 的取值就是一个等比数列。如果我把它一个一个列出来,就应该是这个样子的:

20,21,22,...2x1,2x=n2^0, 2^1, 2^2, ... 2^{x-1}, 2^x = n

每一个数都是前一个数再乘一个 2。

所以,我们只要知道 x 值是多少,就知道这行代码执行的次数了。通过 2x=n2^x=n 求解 x 就是 x=log2nx=log_2n,所以,这段代码的时间复杂度就是

O(log2n)O(log_2n)

再看一段代码

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i=1;
while (i <= n) {
i = i * 3;
}

根据我刚刚的思路,很简单就能看出来,这段代码的时间复杂度为 O(log3n)O(log_3n)

实际上,不管是以 2 为底、以 3 为底,还是以 10 为底,我们可以把所有对数阶的时间复杂度都记为 O(logn)O(logn)。为什么呢?

我们知道,对数之间是可以互相转换的,log3nlog_3n 可以进行以下转换。以下所有变换均使用了如下的换底公式。

logbN=logaNlogablog_bN = \frac{log_aN}{log_ab}

下面开始进行互换,首先设 a 为 2 将所有数换为以 2 为底的。将含有 n 的分母移出来。再使用换底公式将 log23log_23 换为以 3 为底的。又因为分母的 log33=1log_33=1 所以我们换底就成功拉。

log3n=log2nlog23=1log23log2n=1log33log32log2n=log32log33log2n=log321log2n=log32log2n\begin{aligned} log_3n &= \frac{log_2n}{log_23}\\ &= \frac{1}{log_23} \cdot log_2n\\ &= \frac{1}{\frac{log_33}{log_32}}\cdot log_2n\\ &= \frac{log_32}{log_33}\cdot log_2n\\ &= \frac{log_32}{1}\cdot log_2n\\ &= log_32\cdot log_2n \end{aligned}

因为 log3nlog_3n 等于 log32log2nlog_32 * log_2n,所以 O(log3n)=O(Clog2n)O(log_3n) = O(C*log_2n),其中 C=log32C = log_32 是一个常量。基于我们前面的一个理论:在采用大 O 标记复杂度的时候,可以忽略系数,即 O(Cf(n)) = O(f(n))。所以,O(log2n)O(log_2n) 就等于 O(log3n)O(log_3n)。因此,在对数阶时间复杂度的表示方法里,我们忽略对数的“底”,统一表示为 O(logn)O(logn)

如果你理解了我前面讲的 O(logn)O(logn),那 O(nlogn)O(nlogn) 就很容易理解了。还记得我们刚讲的乘法法则吗?如果一段代码的时间复杂度是 O(logn)O(logn),我们循环执行 n 遍,时间复杂度就是 O(nlogn)O(nlogn) 了。而且,O(nlogn)O(nlogn) 也是一种非常常见的算法时间复杂度。比如,归并排序、快速排序的时间复杂度都是 O(nlogn)O(nlogn)

O(m+n)、O(m*n)

我们再来讲一种跟前面都不一样的时间复杂度,代码的复杂度由两个数据的规模来决定。

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public static int cal(int m, int n) {
int sum_1 = 0;
int i = 1;
for (; i < m; ++i) {
sum_1 = sum_1 + i;
}

int sum_2 = 0;
int j = 1;
for (; j < n; ++j) {
sum_2 = sum_2 + j;
}

return sum_1 + sum_2;
}

从代码中可以看出,m 和 n 是表示两个数据规模。我们无法事先评估 m 和 n 谁的量级大,所以我们在表示复杂度的时候,就不能简单地利用加法法则,省略掉其中一个。所以,上面代码的时间复杂度就是 O(m+n)O(m+n)

针对这种情况,原来的加法法则就不正确了,我们需要将加法规则改为:T1(m)+T2(n)=O(f(m)+g(n))T1(m) + T2(n) = O(f(m) + g(n))。但是乘法法则继续有效:T1(m)T2(n)=O(f(m)f(n))T1(m)*T2(n) = O(f(m) * f(n))

空间复杂度分析

时间复杂度的全称是渐进时间复杂度,表示算法的执行时间与数据规模之间的增长关系。类比一下,空间复杂度全称就是渐进空间复杂度(asymptotic space complexity),表示算法的存储空间与数据规模之间的增长关系

先看一段有点傻的代码

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public static void print(int n) {
int i = 0;
int[] a = new int[n];
for (i; i <n; ++i) {
a[i] = i * i;
}

for (i = n-1; i >= 0; --i) {
print out a[i]
}
}

跟时间复杂度分析一样,我们可以看到,第 2 行代码中,我们申请了一个空间存储变量 i,但是它是常量阶的,跟数据规模 n 没有关系,所以我们可以忽略。第 3 行申请了一个大小为 n 的 int 类型数组,除此之外,剩下的代码都没有占用更多的空间,所以整段代码的空间复杂度就是 O(n)。

我们常见的空间复杂度就是 O(1)O(1)O(n)O(n)O(n2)O(n2),像 O(logn)O(logn)O(nlogn)O(nlogn) 这样的对数阶复杂度平时都用不到。而且,空间复杂度分析比时间复杂度分析要简单很多。所以,对于空间复杂度,这样就够了。

小结

复杂度也叫渐进复杂度,包括时间复杂度和空间复杂度,用来分析算法执行效率与数据规模之间的增长关系,可以粗略地表示,越高阶复杂度的算法,执行效率越低。常见的复杂度并不多,从低阶到高阶有:O(1)O(1)O(logn)O(logn)O(n)O(n)O(nlogn)O(nlogn)O(n2)O(n2)

参考

极客时间@王争 - 数据结构与算法之美

katex Docs

简书@胜负55开 - LateX:对数表示

简书@PursueLuo - Latex 公式等号对齐

百度百科 - 换底公式

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